Lassi Juhani Päivärinta

Pöördülesanded

Pöördülesanded moodustavad valdkondadevahelise uurimissuuna, mis seob matemaatilist teooriat ja kaudsete mõõtmistulemuste praktilist tõlgendamist. Rakendusvaldkonnad on meditsiiniline kuvamine, atmosfääri kaugseire, tööstusprotsesside seire ja astronoomiline kuvamine. Pöördülesannete meetodite abil saab tänapäeva matemaatikat kasutada paljudes rakendusvaldkondades.

Matemaatilistes uuringutes leitud teadusuuendusi saab modelleerimise kaudu tuua reaalsetesse rakendustesse. Lahendused ühendavad sageli uudseid teoreetilisi ja arvutustehnilisi saavutusi. Grandi uurimisplaanis sisalduvad põnevad, aga suure riskiga probleemid. Need hõlmavad matemaatikat, mis on seotud nähtamatuks tegevate mantlite ja mustritega, kuvamise praktiliste algoritmidega ning juhuslike kvantsüsteemidega. Nende teemade edukas uurimine võib märkimisväärselt mõjutada niisuguseid rakendusi nagu metamaterjalide konstrueerimine nähtamatute optiliste fiiberkaablite jaoks, magnetresonantstomograafia seadmed ja rinnavähi varajane sõeluuring.

Tulemused

Kas Supermani supernägemine ja Harry Potteri nähtamatuks tegev keep on tõesti võimalikud? Meie silmad reageerivad ainult nähtava valguse lainepikkustele, mis on väga väikese lainepikkusega elektromagnetlained. Supernägemise seadme jaoks oleks vaja kasutada pikemaid lainepikkusi, millega saaks läbida tõkkeid. Nähtamatuks tegeva keebi jaoks tuleks luua materjal, mis paneb lained selle ümber painduma. Niiviisi tekiks illusioon, et objekti ja vaatleja vahel pole midagi.

Projektitöö käigus leiti piir nähtava ja nähtamatu vahel konkreetsete seadete korral. Elektrodünaamikas ei saa lained siseneda ülijuhi kihiga kaetud kehasse ja selle sisemuse kohta ei ole võimalik teavet saada. Mis juhtub, kui ülijuhi kiht on lõpmatult õhuke? Tulemused näitavad, et kui kiirus on teatud kasvukiirusest suurem, siis ei tungi lained kehasse, ja kui väiksem, siis tungivad lained kehasse ja paljastavad teabe sisemuse kohta. Seda tunneliefekti ei ole klassikalises füüsikas kunagi varem täheldatud.

Mõju

Teaduses ja tehnoloogias on hulk valdkondi, kus abstraktsed matemaatilised tulemused võivad viia uute avastuste või edusammudeni, näiteks geofüüsikalised uuringud seismiliste lainete abil, meditsiiniline pildistamine (CT, MRI, fotoakustiline tomograafia jne) ja osoonikihi uurimine kaugete tähtede valguse abil.

Alati kui soovitakse tõlgendada kaudseid mõõtmistulemusi, tuleb lahendada pöördülesanne. Kuna tulemused on oma olemuselt väga teoreetilised, võib nende rakendamise võimalus tulla alles aastakümnete pärast, kui tehnoloogia on piisavalt arenenud. Näiteks John Radon lahendas 1917. aastal järgmise probleemi: kui funktsiooni f integraalid üle kõigi joonte on teada, siis on funktsioon f määratud. 1979. aastal said A. Cormack ja G. Hounsfield Nobeli meditsiinipreemia. Nad näitasid, kuidas röntgenmõõtmiste abil saab rekonstrueerida inimkeha sisemuse kolmemõõtmelise kujutise. Nende uuringud tähistasid arvutipõhise tomograafia algust. Nad kasutasid sama meetodit nagu Radon 60 aastat tagasi.